Aperçu des sections

Informations de base

Bienvenue sur le site Moodle de MAT805-01 avec Michel Beaudin.  Mise à jour du 18 avril 2021.  


  • Voici le plan de cours de MAT805, H-2021.
  • Mes coordonnées à l'ÉTS:  mon bureau est le B-2532 et mon numéro de téléphone est le 514-396-8511.   Téléphone à la maison: 514-932-7098.
  • Mon email: michel.beaudin@etsmtl.ca
  • À la session d’hiver 2021, en plus d'enseigner à distance le cours de MAT805-01,  je coordonne avec mon collègue Louis-Xavier Proulx les groupes de MAT165. 
  • Mon horaire d'enseignement à l'hiver-2021, du lundi 4 janvier au samedi 10 avril

 Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi
AM




PM
Cours
MAT805-01
13:30-17:00
T.P
MAT805-01
15:30-17:30
Soir





  • Les étudiants recevront par courriel les convocations aux réunions Zoom à chaque semaine.  Le lien pour Zoom sera toujours celui-ci. 
  • Guide de démarrage de Zoom. 
  • Les évaluations durant la session et les dates des évaluations en MAT805-01:
  1. Examen intra :  l’examen intra est d’une pondération de 35% et d’une durée de 3 heures, au cours #7.  Toute documentation permise ainsi qu’accès à internet et à un logiciel de calcul symbolique.  
  2. Devoirs : deux (2) devoirs d’une pondération de 20% chacun seront donnés durant la session.  A faire en équipe de deux ou individuellement. 
  3. Take-home final : d’une pondération de 25% qui tient lieu d’examen final.  En équipe de deux ou individuellement.
  4. Calendrier des évaluations.  Note:  les liens pour télécharger sont activés lorsque disponibles.

    Devoir #1
    (Partie I, Partie II)
    (20%)
    		 Examen intra
    (35%)
    		 Devoir #2
    (Partie I, Partie II)
    (20%)
    		 Take-home final
    (25%)
    En ligne le 7 janvier
    Date de remise:
    Partie I: 21 janvier
    Partie II: 4 février

    Mardi 16 février

    Durée de 3 heures:

    13:30-16:30

    		 En ligne le 4 février
    Date de remise:
    Partie I: 18 février
    Partie II: 11 mars 
         

    En ligne le 16 mars.

    Date de remise :

    mardi 13 avril avant 17:00
  • Notes de cours : elles consistent en des résumés, fichiers Nspire et solutions d'exercices qu’on trouve dans les différentes sections plus loin.  Les solutions données lors de T.P. pourront également faire appel aux logiciels Matlab, Maple, Mathematica et le "bon vieux Derive" --toujours pertinent malgré l'arrêt de son développement.  Aussi, WolframAlpha, bien évidemment. 
  • Ma page personnelle générale (ou googler Michel Beaudin) renferme plein de choses dont une section sur mes conférences et publications ainsi que des liens pour chacun de mes autres cours.

Section 1

Cette section contient les éléments suivants à télécharger à la fin de la section.

  1. Le résumé 1: Résolution symbolique, résolution numérique d’équations et de systèmes d’équations.  Rappels et compléments en équations différentielles.  La dernière version (du 4 décembre 2020) contient maintenant des notes et exercices sur la fonction LambertW: W parenthèse gauche z parenthèse droite espace e puissance W parenthèse gauche z parenthèse droite fin de l'exposant égal à z.
  2. Un fichier Nspire associé:  on y trouve des exemples sur la méthode du point fixe, la méthode de Newton (à une variable et aussi à deux variables).
  3. Des fichiers PDF contenant des solutions détaillées de certains exercices résolus durant la séance d'exercices de la session en cours (ou d'une dernière prestation).  Les fichiers des T.P. du 7 janvier, du 14 janvier et du 21 janvier de la session d'hiver 2021 sont disponibles (voir plus bas).

Voici une image provenant de Nspire et qui nous donne une bonne idée de ce que nous ferons.  Nous résoudrons numériquement des équations et systèmes d'équations sans pour autant négliger la solution d'un point de vue graphique ainsi que la solution symbolique lorsqu'elle existe sous forme close.



Section 2

Marqué

Cette section contient les éléments suivants à télécharger à la fin de la section. 

  1. Le résumé 2: Matrices et systèmes d’équations différentielles linéaires. Systèmes linéaires, quasi-linéaires et stabilité.  La dernière version est celle du 2 février 2021.
  2. Un fichier Nspire associé:  résolution de systèmes linéaires d'É.D. et systèmes quasi-linéaires. Stabilité. Exemple du pendule.
  3. Des fichiers PDF contenant des solutions détaillées de certains exercices résolus durant la séance d'exercices de la session en cours (ou d'une dernière prestation).  Les fichiers des T.P. du 28 janvier, du 4 février, du 11 février et du 4 mars de la session d'hiver 2021 sont disponibles (voir plus bas).

Voici une image provenant de Nspire et qui nous donne une bonne idée de ce que nous ferons.  Nous trouverons et classifierons les points critiques de systèmes d'équations différentielles non linéaires.  Par exemple, le pendule non linéaire plongé eh un système du premier ordre:
accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule numérateur de la fraction d y indice 1 au-dessus du dénominateur d t fin de la fraction égal à y indice 2 fin de cellule ligne cellule numérateur de la fraction d y indice 2 au-dessus du dénominateur d t fin de la fraction égal à moins sin ouvrir la parenthèse y indice 1 fermer la parenthèse fin de cellule fin de tableau fin
dont on voit ici le plan de phase avec différentes conditions initiales:



Section 3

Cette section contient les éléments suivants à télécharger à la fin de la section.

  1. Le résumé 3: Analyse de Fourier:  séries de Fourier, applications aux É.D.O et aux É.D.P.  La dernière version est celle du 2 mars 2021.
  2. Un fichier Nspire associé:  Solution en régime permanent:  Laplace versus Fourier.
  3. Des fichiers PDF contenant des solutions détaillées de certains exercices résolus durant la séance d'exercices de la session en cours (ou d'une dernière prestation).  Le fichier du T.P. du 11 mars est disponible (voir plus bas).

Les séries de Fourier serviront à trouver la solution en régime permanent dans un problème de masse-ressort comme le montre l'image suivante où des calculs ont permis de trouver la fréquence de la solution en régime permanent:

Les


Section 4

Cette section contient les éléments suivants à télécharger à la fin de la section. 

  1. Le résumé 4: Analyse de Fourier: EDP de la chaleur et des ondes, solutions de d'Alembert, transformations intégrales.  Nouvelle version du 27 février 2021. 
  2. Un fichier Nspire associé:  EDP des ondes_animation. De même qu'un autre fichier Nspire utile pour un problème du Take-Home final concernant le pendule avec force d'amortissement.
  3. Des fichiers PDF contenant des solutions détaillées de certains exercices résolus durant la séance d'exercices de la session en cours (ou d'une dernière prestation).  Les fichiers des T.P. du 18 mars et du 25 mars sont disponibles.  Voir plus bas.

La méthode de séparation des variables et les prolongements périodiques permettent facilement de trouver une solution aux problèmes d'équations aux dérivées partielles: transfert de chaleur et équation des ondes.  Par exemple,soit le problème

accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule numérateur de la fraction dérivée partielle au carré u au-dessus du dénominateur dérivée partielle t puissance espace 2 fin de l'exposant fin de la fraction égal à c au carré fois numérateur de la fraction dérivée partielle au carré u au-dessus du dénominateur dérivée partielle x au carré fin de la fraction u parenthèse gauche 0 virgule t parenthèse droite égal à u parenthèse gauche L virgule t parenthèse droite égal à 0 u parenthèse gauche x virgule 0 parenthèse droite égal à f parenthèse gauche x parenthèse droite numérateur de la fraction dérivée partielle u au-dessus du dénominateur dérivée partielle t fin de la fraction parenthèse gauche x virgule 0 parenthèse droite égal à 0 fin de cellule fin de tableau fin
Si f puissance astérisque de multiplication est le prolongement impair de f de période 2 L, alors nous verrons qu'une solution sous forme close est donnée par
u parenthèse gauche x virgule t parenthèse droite égal à 1 demi ouvrir la parenthèse f puissance astérisque de multiplication parenthèse gauche x plus c fois t parenthèse droite plus f puissance astérisque de multiplication parenthèse gauche x espace moins espace c fois t parenthèse droite fermer la parenthèse espace

Section 5

Cette section contient les éléments suivants à télécharger à la fin de la section. 

  1. Le résumé 5: Analyse complexe.  La dernière version est celle du 6 avril 2021 et présente l'analyse complexe de façon suffisamment détaillée pour un étudiant qui n'aurait pas suivi de tel cours au premier cycle. 
  2. Un fichier Nspire associé:  Calcul d'intégrales curvilignes par le théorème des résidus utilisant au besoin une série de Laurent suivi d'un retour intéressant aux nombres complexes, puisant dans le graphisme que permet l'ordinateur.
  3. Des fichiers PDF contenant des solutions détaillées de certains exercices résolus durant la séance d'exercices de la session en cours (ou d'une dernière prestation).  Les fichirs des T.P. du 1er avril et du 8 avril sont disponibles.  Voir plus bas.


L'analyse complexe sera présentée en utilisant le calcul symbolique.  En particulier, nous donnerons les formules de simplification des propriétés des logarithmes et des puissances générales à l'aide du "unwinding number" de Corless-Jeffrey utilisé dans la définition
log ouvrir la parenthèse e puissance z fermer la parenthèse égal à z espace plus espace i fois 2 fois simple pi fois K parenthèse gauche simple z parenthèse droite
où K parenthèse gauche z parenthèse droite est l'entier moins n tel que parenthèse gauche 2 fois n moins 1 parenthèse droite fois simple pi inférieur à Im parenthèse gauche simple z parenthèse droite inférieur ou égal à parenthèse gauche 2 fois n plus 1 parenthèse droite fois simple pi.

Pour un nombre complexe non nul z, la définition de son logarithme ("log" désignant "ln") est
ln parenthèse gauche z parenthèse droite égal à ln parenthèse gauche trait vertical ouvert(e) z trait vertical fermé(e) parenthèse droite plus i fois début de texte Arg fin de texte parenthèse gauche z parenthèse droite

Si z égal à x plus i fois y est un nombre complexe, la convention est que début de texte -π < Arg fin de texte parenthèse gauche z parenthèse droite inférieur ou égal à simple pi.   début de texte Arg fin de texte parenthèse gauche x plus i fois y parenthèse droite espaceest défini par simple pi sur 2 début de texte sign fin de texte parenthèse gauche y parenthèse droite moins début de texte arctan fin de texte ouvrir la parenthèse x sur y fermer la parenthèse
La discontinuité le long de l'axe réel négatif apparaît bien:


Il est évident que le cours de MAT805 n'est pas un cours d'analyse complexe et que deux (maximum trois) cours sur le sujet ne sont pas suffisants pour l'étudiant qui n'aurait pas suivi de cours d'analyse complexe au premier cycle.  Mais fort heureusement, un site internet interactif for intéressant permet de bien avancer de façons efficace dans la matière.  Merci à mon collègue Louis-Xavier Proulx pour l'information!