MAT472 Algèbre linéaire et géométrie de l'espace
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Généralités
MAT472 Algèbre linéaire et géométrie de l’espace
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À la fin de ce cours, l'étudiant sera en mesure :
- d'utiliser les outils du calcul différentiel à plusieurs variables et de l'algèbre linéaire dans le but d'analyser les objets 2D et 3D;
- d'effectuer des transformations sur ces objets.
Vecteurs, produits scalaires, vectoriels et mixtes, projection d'un vecteur sur un autre. Équations des droites et plans dans l'espace. Fonctions vectorielles à une variable et applications : courbes, vecteurs position, vitesse et accélération. Fonctions à plusieurs variables, surfaces, dérivées partielles, dérivées directionnelles, gradient; applications géométriques : courbes de niveaux, plans tangents.
Matrices, déterminants, inversion de matrices, systèmes d'équations linéaires, valeurs propres et vecteurs propres. Transformations linéaires et leur interprétation géométrique (rotation, cisaillement, changements d'échelle, projection). Espace vectoriel. Indépendance linéaire. Base. Dimension. Base orthogonale. Changement de base.
Sites de cours
Une liste complète des groupes, des enseignants et leurs coordonnées, ainsi que le responsable du cours se trouve dans le plan de cours, sous l'onglet Accueil.
Documents
Références
Documentation
Voir la section précédente pour les notes de cours de la première partie.
Documentation supplémentaire
- STEWART, James. Analyse, concepts et contextes, Volume 2. Fonctions de plusieurs variables, Extraits. 3e édition, De Boeck Université, 2011.
- LAY, David C. Algèbre linéaire et applications, Pearson Erpi, 5ième édition, 2017.
Logiciel et calculatrice
Le site Moodle de la TI-Nspire CX II CAS à l'ÉTS contient plusieurs informations utiles.
- Le cours de MAT472 est le produit d'une réunion de deux sujets: le calcul différentiel à plusieurs variables (notamment les courbes et surfaces paramétrées) et l'algèbre linéaire (notamment les matrices utilisées comme transformation du plan et de l'espace). Plusieurs fichiers Nspire commentés et illustrés sont déposés ici et
couvrent une bonne partie de la matière présentée tout au long de la
session.
- Plusieurs fonctions additionnelles en calcul à plusieurs variables sont programmées dans la libraire kit_ets_mb. On pourra même consulter la syntaxe complète (qui détaille beaucoup plus que le catalogue de Nspire) ainsi que des exemples d'utilisation.
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On génère un tore à partir d'une courbe 3D qui tourne autour d'un axe, matrices en vue.
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Un fichier qui introduit les surfaces quadriques.
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Deux plans qui se coupent, deux cylindres qui se coupent et finalement un plan et un paraboloïde qui se coupent.
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Un fichier où le vecteur-position et le vecteur-vitesse (tangent) sont animés.
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On y construit la courbe d'intersection ainsi que la droite tangente à cette courbe dont la pente est précisément la valeur de la dérivée partielle au point donné.
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Un fichier portant sur l'optimisation sans contrainte et une activité avec curseur expliquant pourquoi le signe du discriminant est révélateur.
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On y montre aussi ce qui se produit quand on peut paramétrer la contrainte.
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Il est bon de faire un lien avec la théorie sur les vecteurs du début de la session !
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Un fichier sur des transformations appliquées pour faire tourner un triangle autour d'un point. Et les matrices requises sont construites.
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Un fichier illustrant beaucoup de transformations géométriques 2D qu'on peut changer et voir en temps réel.
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Un fichier sur l'interprétation géométrique du déterminant: le fichier montre l'importance de la linéarité et revient sur les courbes paramétriques 2D vues au début de la session !
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Un fichier illustrant le théorème du rang où l'on trouve le noyau et l'image d'une transformation linéaire.
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Un fichier portant sur le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres (en mode exact si possible). On y montre aussi l'utilisation du mode graphique "Suites", très utile.
Mesures d'aide
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