Cours : MAT472 Algèbre linéaire et géométrie de l'espace

MAT472 Algèbre linéaire et géométrie de l’espace

Accueil
Sites de cours
Documents
Références
Un avant-goût de MAT472
Calculatrice/logiciel Nspire CAS
Mesures d'aide

Accueil

À la fin de ce cours, l'étudiant sera en mesure :

d'utiliser les outils du calcul différentiel à plusieurs variables et de l'algèbre linéaire dans le but d'analyser les objets 2D et 3D;
d'effectuer des transformations sur ces objets.

Vecteurs, produits scalaires, vectoriels et mixtes, projection d'un vecteur sur un autre. Équations des droites et plans dans l'espace. Fonctions vectorielles à une variable et applications : courbes, vecteurs position, vitesse et accélération. Fonctions à plusieurs variables, surfaces, dérivées partielles, dérivées directionnelles, gradient; applications géométriques : courbes de niveaux, plans tangents.

Matrices, déterminants, inversion de matrices, systèmes d'équations linéaires, valeurs propres et vecteurs propres. Transformations linéaires et leur interprétation géométrique (rotation, cisaillement, changements d'échelle, projection). Espace vectoriel. Indépendance linéaire. Base. Dimension. Base orthogonale. Changement de base.

À moins d'indications contraires de votre enseignant, veuillez noter qu'en début de session, il n'y a pas de séance de travaux pratiques avant qu'il y ait eu au moins un cours théorique.

Sites de cours

Une liste complète des groupes, des enseignants et leurs coordonnées, ainsi que le responsable du cours se trouve dans le plan de cours, sous l'onglet Accueil.

Sites de cours

Groupe(s) de

El Mostapha Frih
Les groupes suivants ont un site de cours sur la plateforme Moodle-ÉTS :
Groupe(s) 01
Michel Beaudin
Groupe(s) 02 - 05
El Mostapha Frih
Groupe(s) 03
Toufik Hammouche
Groupe(s) 04
Omar Foutlane

Documents

Références

Documentation obligatoire

STEWART, James. Analyse, concepts et contextes, Volume 2. Fonctions de plusieurs variables, Extraits. 3e édition, De Boeck Université, 2011.
LAY, David C. Algèbre linéaire et applications, Pearson Erpi, 5ième édition, 2017.

Ces deux livres sont vendus ensemble à la Coop.

Un avant-goût de MAT472

Le cours de MAT472 est le produit d'une réunion de deux sujets: le calcul différentiel à plusieurs variables (notamment les courbes et surfaces paramétrées) et l'algèbre linéaire (notamment les matrices utilisées comme transformation du plan et de l'espace). Un aperçu de ce cours nous est donné en considérant les exemples suivants.

Nous partons d'une courbe paramétrée 2D que nous transportons dans l'espace en la plaçant dans le plan y = 0. Nous la faisons ensuite tourner, à l'aide d'une matrice de rotation, autour de l'axe des z. Nous engendrons alors un solide de révolution avec un curseur qui permet de "voir sa construction":

Courbe 3D qui tourne autour de l'axe des z

Notez que le graphisme 3D de Nspire n'est pas équivalent à celui des "gros" logiciels, encore moins à ceux de géométrie dynamique. Mais une équipe du SEG a développé une bibliothèque de géométrie 3D fort utile. Fichiers et explications ici.

Le logiciel TI-Nspire sera encore plus intéressant à utiliser si nous lui ajoutons, dans différentes librairies, des fonctions utilisées dans nos cours. Voici un exemple concret: soit f un champ scalaire de deux variables x et y. Le gradient de f, dénoté $nabla f$ , est alors défini comme étant le vecteur de ses dérivées partielles (donc c'est un champ vectoriel et non scalaire) : $nabla f parenthèse gauche x virgule espace y parenthèse droite espace égal à espace crochet ouvert table ligne cellule numérateur de la fraction dérivée partielle f au-dessus du dénominateur dérivée partielle x fin de la fraction virgule espace fin de cellule cellule numérateur de la fraction dérivée partielle f au-dessus du dénominateur dérivée partielle y fin de la fraction fin de cellule fin de table crochet fermé$ . Nspire calculant symboliquement les dérivées partielles peut donc calculer un gradient ... mais le gradient n'est pas une fonction interne de Nspire! Mais si notre champ scalaire possède 3 variables ou même plus ou encore si les variables ne sont pas x, y,.... mais s, t, ...., comment définir une fonction gradient? Une façon consiste à "compter" le nombre de variables qu'on inclut dans un vecteur dont la dimension (de la colonne) est "n". Et on veut un vecteur et non une liste. Alors voici une façon de procéder (les étudiants n'ont pas à faire cela, cette prochaine définition est déjà incluse dans la librairie kit_ets_mb, accessible depuis n'importe quel classeur si installée dans "MyLib"):

Finalement, Nspire "contient" aussi un logiciel de géométrie 2D qui permet, sans avoir à trouver les matrices requises pour faire les transformations, de transformer les objets par symétrie, réflexion, translation, rotation, homothéthie. En MAT472, nous développerons aussi les outils matriciels requis.

Calculatrice/logiciel Nspire CAS

Le site WEB de la calculatrice symbolique renferme beaucoup d'informations utiles. Nous reproduisons ici deux informations mises à jour.

Si vous avez égaré le code d'activation pour le téléchargement du logiciel Nspire CX CAS mais avez acheté votre calculatrice à la Coop, vous devrez demander une preuve d'achat de la calculatrice en écrivant à la Coop et ensuite appeler chez Texas Instruments au 1-800-842-2737 pour donner les chiffres à l'endos de la calculatrice (et possiblement envoyer votre preuve d'achat à ti-cares@ti.com). Un code d'activation devrait vous parvenir. D'ici ce temps, une version d'essai gratuite de 30 jours est disponible ici.

Il est toujours préférable d'avoir le dernier système d'exploitation installé sur son appareil. En date du 11 août 2021, il s'agit du système

OS 5.3.2 pour la calculatrice TI-Nspire CX II CAS et OS 4.5.5 pour TI-Nspire CX CAS ("ancien modèle").
OS 5.3.2 pour le logiciel TI-Nspire CX CAS student software et pour le logiciel TI-Nspire CX Premium Teacher Software.

Notez finalement qu'il est toujours possible de faire des saisies d'écrans provenant de votre calculatrice ou de télécharger des librairies sur votre calculatrice sans que vous disposiez du logiciel TI-Nspire. Il vous suffit d'installer le logiciel TI-Nspire Computer Link Software qui ne nécessite pas de licence. Ce logiciel ne semble toutefois pas fonctionner avec la calculatrice plus récente TI-Nspire CX II.

Mesures d'aide

Le CASIM (Centre d'Aide en Sciences, Informatique et Mathématiques). L'horaire de la session d'automne 2021 est disponible sur le site du CASIM.

Groupe(s) 01	Michel Beaudin
Groupe(s) 02 - 05	El Mostapha Frih
Groupe(s) 03	Toufik Hammouche
Groupe(s) 04	Omar Foutlane

Groupe(s) de	El Mostapha Frih